BAB I
PENDAHULUAN
A. DESKRIPSI
Pembahasan tentang Persamaan dan Pertidaksamaan terdiri atas 3 bagian proses pemelajaran yang meliputi 3 sub kompetensi dengan alokasi waktu 16 jam pelajaran, yaitu:
Pengantar persamaan, yaitu terdiri atas dua kegiatan belajar.
Kegiatan belajar 1: Membahas tentang pengertian persamaan, macam-macam dan bentuk umum persamaan, sifat umum persamaan serta cara menyelesaikan persamaan linear dengan satu peubah, dua peubah, persamaan kuadrat, dan persamaan linear dengan tiga peubah.
Kegiatan belajar 2: Membahas tentang menentukan jenis akar persamaan kuadrat, jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat dan menyusun persamaan kuadrat bila sudah diketahui akarnya atau akarnya berhubungan dengan persamaan kuadrat lainnya.
Sistem persamaan, terdiri atas satu kegiatan belajar, yaitu kegiatan belajar 3.
Kegiatan belajar 3 membahas: Bentuk umum sistem persamaan linear dengan dua peubah, bentuk umum sistem persamaan linear dengan tiga peubah, bentuk umum sistem persamaan dengan dua variabel satu linear dan satu kuadrat, serta masing-masing bentuk sistem persamaan. Pemelajaran untuk sistem persamaan dialokasikan 8 jam pelajaran.
Pertidaksamaan, terdiri atas satu kegiatan belajar yaitu kegiatan belajar 4 yang membahas pengertian pertidaksamaan, macam-macam pertidaksamaan dan bentuk umumnya, sifat umum pertidaksamaan dan cara menyelesaikan pertidaksamaan linear dan kuadrat. Pemelajaran pertidaksamaan ini dialokasikan 10 jam pelajaran.
Evaluasi untuk kompetensi, mengaplikasikan konseppersamaan dan pertidaksamaan.
Setelah mempelajari persamaan dan pertidaksamaan ini, kompetensi yang diharapkan adalah siswa dapat mengaplikasikan persamaan dan pertidaksamaan dalam memecahkan masalah yang berhubungan dengan kehidupan sehari-hari.
Pendekatan yang digunakan dalam model ini menggunakan pendekatan sistem aktif melalui metode: pemberian tugas, diskusi pemecahan masalah, serta presentasi. Guru merancang pembelajaran, yang memberikan kesempatan seluas-luasnya pada siswa untuk berperan aktif dalam membangun konsep secara mandiri atau bersama-sama.
B. Prasyarat
Kemampuan awal yang diperlukan untuk mempelajari materi ini siswa telah mempelajari dan menguasai materi tentang operasi bilangan real.
C. Tujuan
Spesifikasi kerja yang diharapkan dikuasai siswa setelah mengikuti seluruh kegiatan belajar adalah siswa dapat:
1. Mendefinisikan pengertian persamaan.
2. Membedakan suatu kalimat persamaan dan bukan persamaan.
3. Menyebutkan macam-macam persamaan.
4. Menuliskan bentuk umum suatu persamaan dengan peubah tertentu.
5. Menyebutkan sifat umum persamaan.
6. Menyelesaikan persamaan.
7. Menentukan jenis akar persamaan kuadrat.
8. Menghitung jumlah dan hasil kali akar tanpa menghitung akar-akar persamaan kuadrat.
9. Menyusun persamaan kuadrat bila sudah diketahui akar-akarnya.
10. Menyusun persamaan kuadrat baru, yang akarnya berhubungan dengan akar persamaan kuadrat lain.
11. Menuliskan bentuk umum sistem persamaan linear dengan dua peubah.
12. Menuliskan bentuk umum sistem persamaan linear dengan tiga peubah.
13. Menuliskan bentuk umum sistem persamaan dengan satu peubah, dua peubah, satu linear satu kuadrat.
14. Menyelesaikan sistem persamaan
15. Menyebutkan pengertian pertidaksamaan.
16. Menyebutkan macam-macam pertidaksamaan.
17. Menuliskan bentuk umum macam-macam pertidaksamaan.
18. Menuliskan sifat umum pertidaksamaan.
19. Menyelesaikan pertidaksamaan.
Berdasarkan spesifikasi kinerja di atas, kemungkinan aplikasi konsep persamaan dan pertidaksamaan secara mendalam di dunia kerja diantaranya untuk menyelesaikan persoalan program linear, ekonometri, statistika, dan metode-metode yang mempelajari hubungan-hubungan ( interrelationship ) antara peubah atau faktor-faktor. Pengetahuan mengenai peramaan dan pertidaksamaan merupakan syarat pokok untuk dapat memahami teori/ analisis ekonomi modern yang bersifat kualitatif . Misalnya di dalam menganalisa babel input-output, penggunaan persamaan dan pertidaksamaan dimungkinkan selain hubungan yang saling kait mengkait antara sektor yang satu dengan sektor lainnya, juga dapat dipergunakan, juga dapat digunakan untuk meramalkan output setiap sektor apabila permintaan akhir dari setiap sektor sudah diketahui.
GLOSARIUM
ISTILAH KETERANGAN
Kesamaan atau identitas. adalah suatu pernyataan yang memuat ungkapan “samadengan” dan diberi notasi “=“ , tetapi tidak memuat peubah atau variabel.
Kalimat tertutup Yaitu pernyataan yang dapat ditentukan nilai kebenarannya.
Kalimat terbuka Yaitu pernyataan yang memuat notasi yang mewakili sesuatu yang belum jelas nilainya. Notasi yang demikian disebut peubah atau variable
Persamaan kalimat terbuka yang memuat suatu peubah.
Persamaan linear satu peubah adalah suatu kalimat terbuka yang hanya memuat sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya satu.
Beberapa sifat penting yang perlu diperhatikan dalam menyelesaikan suatu persamaan linear. · Suatu persamaan tidak akan berubah nilainya apabila tiap ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama.
· Suatu persamaan tidak akan berubah nilainya apabila tiap ruas dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama selain bilangan nol.
Persamaan Linear dua peubah yaitu suatu sistem persamaan yang terdiri dari dua persamaan linear yang masing-masing mengandung dua peubah atau variabel dan pangkat kedua peubah itu adalah satu.
Ada beberapa cara penyelesaian sistem persamaan linear dengan dua peubah a. Eliminasi
b. Substitusi
c. Eliminasi dan Substitusi
d. Grafik
e. Matriks
f. Determinan
Penyelesaian atau akar persamaan. adalah nilai pengganti peubah pada persamaan-persamaan yang membuat persamaan itu benar.
CEK KEMAMPUAN
No. Pertanyaan Ya Tidak
1. Tahukah anda pengertian persamaaan?
2. Dapatkah anda menyebutkan macam-macam persamaan?
3. Dapatkah anda menuliskan bentuk umum persamaan linear?
4. Dapatkah anda menuliskan bentuk umum persamaan kuadrat?
5. Dapatkah anda menyebutkan sifat umum persamaan?
6. Dapatkah anda menyelesaikan persamaan linear?
7. Dapatkah anda menyelesaikan persamaan kuadrat?
8. Dapatkah anda menyebutkan jenis akar persamaan kuadrat?
9. Dapatkah anda menghitung jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat?
10. Dapatkah anda menyusun persamaan kuadrat yang sudah diketahui akarnya?
11. Dapatkah anda menyusun persamaan kuadrat baru yang akarnya berhubungan dengan akar persamaan kuadrat lainnya?
12. Dapatkah anda menyebutkan pengertian pertidaksamaan?
13. Dapatkah anda menyebutkan macam-macam pertidaksamaan dan menuliskan bentuk umumnya?
14. Dapatkah anda menyebutkan sifat-sifat pertidaksamaan?
15. Dapatkah anda menyelesaikan pertidaksamaan linear?
16. Dapatkah anda menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan cara yang ditentukan?
17. Dapatkah anda menyebutkan macam-macam sistem persamaan serta menuliskan bentuk umumnya?
18. Dapatkah anda menyelesaikan sistem persamaan dengan cara yang ditentukan?
19. Dapatkah anda mengaplikasikan konsep persamaan dan pertidaksamaan dalam kehidupan sehari-hari?
F. Kegiatan Belajar
a. Tujuan kegiatan belajar 1:
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini anda diharapkan mampu:
Memiliki pengertian tentang persamaan.
Menyebutkan dan menuliskan bentuk umum macam-macam persamaan.
Menuliskan sifat umum persamaan.
Menyelesaikan persamaan dalam matematika maupun dalam persoalan sehari-hari.
b. Uraian materi kegiatan belajar :
1) Pengertian Kalimat terbuka dan kalimat tertutup
Perhatikan pernyataan-pernyataan berikut:
1. 5 + 7 = 12 5. 3 x + 8 = 5
2. 9 − 3 = 5 6. 2 p − 3 = 4 p + 7
3. 6 : 2 = 4 7.
4. 5 + 8 6 8.
Pernyataan 1, 2, 3 dan 4 disebut kalimat tertutup yaitu pernyataan yang dapat ditentukan nilai kebenarannya. Pernyataan 1 dan 4 bernilai benar, sedang pernyataan 2 dan 3 bernilai salah. Pernyataan yang memuat ungkapan “samadengan” dan diberi notasi “ = “ , tetapi tidak memuat variabel maka disebut “kesamaan” atau “identitas”.
Pernyataan atau kalimat yang terletak di kiri tanda “=” disebut “ruas kiri”, dan pernyataan atau kalimat yang terletak di kanan tanda “=” disebut “ruas kanan”.
Pada pernyataan 5, 6, 7 dan 8 tidak dapat dinilai langsung kebenarannya. Pernyataan ini disebut pernyataan “terbuka”, yaitu pernyataan yang memuat notasi yang mewakili sesuatu yang belum jelas nilainya. Notasi yang demikian disebut peubah atau variabel , misalkan: x , y , z , p , q , r , s , t , u dan sebagainya.
Persamaan Linear satu peubah
Persamaan linear satu peubah adalah suatu kalimat terbuka yang hanya memuat sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya satu.
Contoh 1:
2 x − 5 = 13 ……………..(peubahnya satu yaitu x dan pangkatnya 1)
5 y + 7 = 2 y − 5 ………(peubahnya satu yaitu y dan pangkatnya 1)
……………....( peubahnya satu yaitu p dan pangkatnya 1)
Contoh 2:
5 p + 7 y = 8 …… bukan persamaan linear satu peubah karena peubahnya ada dua (yaitu p dan y)
x2 − 9 = 0 …. bukan persamaan linear satu peubah walaupun peubahnya
hanya satu tetapi pangkat dari peubahnya adalah dua.
Bentuk Umum:
Persamaan linear satu peubah :
Keterangan:
A : koefisien dari x ; x : peubah ; b : konstanta
contoh:
3 x + 15 = 0
2 x - 8 = 0
Pada kedua contoh tersebut, persamaan akan bernilai benar apabila peubahnya berturut-turut diganti -5 dan 4. Jika nilai peubah dapat mengubah persamaan menjadi pernyataan yang benar, maka nilai-nilai peubah tersebut merupakan “penyelesaian dari suatu persamaan”.
Sifat-sifat Persamaan Linear:
Untuk menyelesaikan suatu persamaan linear ada beberapa sifat penting yang perlu diperhtikan yaitu:
Suatu persamaan tidak akan berubah nilainya apabila tiap ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama.
Suatu persamaan tidak akan berubah nilainya apabila tiap ruas dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama selain bilangan nol.
Di bawah ini adalah contoh untuk menyelesaikan soal menggunakan sifat-sifat di atas.
Tentukan penyelesaian soal-soal di bawah ini:
1. 5 x + 10 = 25
2. =
3. − 2 = 1 +
Jawab:
1. 5 x + 10 = 25
5 x + 10 − 10 = 25 − 10 ……… ( ruas kanan dan kiri dikurangi 10 ).
5 x = 15
5 x . = 15 . ………. ( dikalikan )
x = 3 ………….. ( hasil penyelesaian )
2. =
× 10 = × 10 …( dikalikan KPK dari 2 dan 5 yaitu 10 )
5 ( 2 x – 1 ) = 2 ( 4 x – 3 )
10 x − 5 = 8 x − 6 ………… ( uraian perkalian )
10 x − 5 + 5 = 8 x − 6 + 5 ……… ( ditambah 5 )
10 x = 8 x − 1
10 x − 8 x = 8 x − 8 x − 1 …….. ( dikurangi 8 x )
2 x = - 1
2 x . = - 1 . ……………. ( dikalikan )
x = - ………………… ( hasil penyelesaian )
Jadi himpunan penyelesaiannya ( HP ) adalah -
3. − 2 = 1 +
6 ( − 2) = 6 (1 + )
4 x − 12 = 6 + 3 x
4 x − 3 x = 6 + 12
x = 18
Jadi himpunan penyelesaiannya ( HP ) adalah 18
Catatan:
Untuk menyelesaikan persamaan linear usahakan agar peubah atau variabel- variabelnya terletak pada satu ruas dan konstanta-konstantanya di ruas lain.
Jika dalam suatu persamaan tidak tertulis himpunan semestanya, maka yang dimaksud himpunan semestanya adalah himpunan bilangan real (nyata).
Cara tersebut di atas dapat dipersingkat dengan mengelompokkan suku-suku sejenisnya. Untuk suku yang pindah ruas maka tanda berubah.
Contoh :
1. 5 (t − 4) = 3 ( 8 − t)
5 t − 20 = 24 − 3 t
5 t + 3 t = 24 + 20
8 t = 44
t = 5
Jadi HP adalah 5
2.
12 ( ) = 12 ( )
8 m − 6 m = 6 m − 9
- 4 m = - 9
m = 2
Jadi HP adalah 2
Latihan 1:
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan linear berikut:
a. 2 x − 3 = 3 x − 7
b. 5 m − 7 = 2 m + 2
c. 4 y − 19 = 17 − 8 y
d. 5 + 3 ( 2 − x ) + 2 = 2 ( x − 3 )
e. 5. 8 x − 3 = 4 ( x + 1 ) + 5 f. 2 x + 3 ( x − 5 ) = 10
g. 5 ( 1 − x ) + 6 x = 3 x + 7
h. 5 y + 10 = 15 + 4 y
i. 3 m + 17 = -3 + 7 m
j. 10. y + 1 = 5 ( 6 − y ) + 1
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan linear berikut:
a. − 2 =
b. + = x + 2
c. − + = 0 d. + =
e. − =
f. ( x − 7 ) = 6 x
Mengaplikasikan persamaan linear dalam bidang bisnis dan managemen.
Langkah-langkah yang harus dilakukan adalah:
Menterjemahkan soal ke dalam kalimat matematika.
Menyusun persamaannya.
Menyelesaikan persamaan.
Menterjemahkan kembali pada soal semula.
Contoh:
1. Data akuntansi untuk persediaan barang dagangan UD. Sumber Rejeki, bulan Maret 2006 adalah sebagai berikut:
- Harga pokok penjualan : Rp. 20.550.000,00
- Persediaan tanggal 1 Maret 2006 : Rp. 2.300.000,00
- Biaya angkut pembelian : Rp. 600.000,00
- Persediaan tanggal 31 Maret 2006 : Rp. 750.000,00
- Retur pembelian dan potongan harga : Rp. 830.000,00
Hitunglah besarnya pembelian selama bulan Maret 2006
Penyelesaiannya dapat dengan menggunakan format sebagai berikut:
Bagan perhitungan harga pokok penjualan barang dagang:
Persediaan awal ………….
Pembelian-pembelian …………. +
……………
Biaya angkut pembelian …………..
Retur dan potongan pembelian ………….. –
…………..
Persediaan akhir ………….. –
………….
Harga pokok penjualan …………. –
………….
Jawab:
Misalkan jumlah pembelian selama bulan Maret 2006 = x , maka:
2.300.000 + x + 600.000 - 830.000 - 750.000 = 20.550.000
x + 1.320.000 = 20.550.000
x = 19.230.000
Jadi besarnya pembelian selama bulan Maret 2006 adalah Rp. 19.230.000,00
2. Ibu membeli kue donat sebanyak 9 buah harganya Rp.6.750,00.
Berapa harga satu buah donat?
Jawab:
Misalnya sebuah kue donat = x , maka
x = 6.750
x = = 750.
Jadi harga kue donat per buah adalah Rp. 750,00
Harga sebuah celana, dua kali harga sebuah baju. Dua celana dan tiga baju harganya Rp. 350.000,00. Berapa harga satu celana dan satu baju?
Penyelesaian:
Misal harga 1 baju ( B ) = x
harga 1 celana ( C ) = 2 x
Harga 2 C + 3 B = 350.000
2 ( 2 x ) + 3 ( x ) = 350.000
4 x + 3 x = 350.000
7 x = 350.000
x = 50.000
Jadi harga 1 baju ( B ) = x = Rp. 50.000,00
harga 1 celana ( C ) = 2 x = 2 × Rp. 50.000,00 = Rp. 100.000,00
Harga sebuah bolpoin sama dengan tiga kali harga sebuah pensil. Jika jumlah harga 40 bolpoin dan 30 pensil adalah Rp. 150.000,00.
Berapakah harga sebuah bolpoin dan harga sebuah pensil masing-masing?
Penyelesaian:
Misal harga 1 pensil ( P ) = x
harga 1 bolpoin (B) = 3 x
B + 30 P = 150.000
40 ( 3 x ) + 30 ( x ) = 150.000
120 x + 30 x = 150.000
150 x = 150.000
x = 1.000
Jadi harga 1 pensil ( P ) = x = Rp. 1.000,00
harga 1 bolpoin ( B ) = 3 x = 3 × Rp. 1.000,00 = Rp. 3.000,00
Latihan:
Tentukan hipunan penyelesaian setiap persamaan di bawah ini, jika peubahnya pada himpunan bilangan rasional.
a. 5 ( p − 6 ) = 3 ( 8 − p )
b. 9 x − ( x − 11 ) = 5 − ( x − 3 )
c. – 2 + 3 a = 7 − ( 8 + 3 a )
d. 3 ( m − 5 ) − 9 = 6 − 7 m
Tentukan hipunan penyelesaian setiap persamaan di bawah ini, jika peubahnya pada himpunan bilangan rasional.
a. − 3 =
b. − = 5 c. =
d. =
Harga dua loyang cake keju sama dengan harga tiga loyang cake coklat.
Jika harga enam loyang cake coklat Rp. 72.000,00. Hitunglah harga satu loyang cake keju.
4. Jumlah harga 3 m kain katun Jepang dan 5 m kain phiskin adalah Rp. 77.000,00. Sedangkan harga 1 m kain katun Jepang sama dengan dua kali harga 1 m kain phiskin. Jika Atun membeli 1 m kain katun Jepang dan 1 m kain phiskin, berapa rupiah Atun harus membayar?.
C. Persamaan Linear dua peubah (variabel)
Persamaan Linear dua peubah yaitu suatu sistem persamaan yang terdiri dari dua persamaan linear yang masing-masing mengandung dua peubah atau variabel dan pangkat kedua peubah itu adalah satu.
Secara umum dinyatakan dalam bentuk:
dengan syarat/ ketentuan :
a , b , c , p , q , dan r R
a , b 0 dan p , q 0
a , p : koefisien x
b , q : koefisien y
c , r : konstanta
Contoh:
1.
Pada contoh tersebut, kedua persamaan akan bernilai benar jika x = 5 dan y = 3
2. Aplikasi persamaan linear pada bidang bisnis.
Dalam kehidupan sehari-hari sering bertemu persoalan yang dapat diselesaikan menggunakan
sistem persamaan linear dengan dua peubah.
Contoh:
Anita membeli 4 buku tulis dan 2 pulpen dengan harga Rp. 7.000,00. Ratih membeli 3 buku tulis dan 5 pulpen dengan harga Rp. 10,500,00.
Berapa harga 1 buku tulis dan 1 pulpen?
Penyelesaian:
Untuk menjawab persoalan di atas, perlu terlebih dahulu diterjemahkan ke dalam bahasa matematika yang disebut model matematika.
Agar mudah membuat model matematikanya dapat dibantu dengan menggunakan tabel.
Buku tulis Pulpen Harga
Anita 4 2 7.000
Ratih 3 5 10.500
Dari tabel di atas dapat dibuat model matematikanya yaitu:
Misalkan: buku tulis = x
Pulpen = y
Maka akan didapat sistem persamaan yang dapat ditulis sebagai berikut:
atau
Mencari harga x (satu buku tulis) dan y (satu pulpen) berarti mencari himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut.
3. Menentukan Himpunan Penyelesaian (HP) Persamaan Linear.
Ada beberapa cara penyelesaian sistem persamaan linear dengan dua peubah, antara lain dengan :
b. Eliminasi
b. Substitusi c. Eliminasi dan Substitusi
d. Grafik e. Matriks
f. Determinan
Nilai pengganti peubah pada persamaan-persamaan yang membuat persamaan itu benar disebut penyelesaian atau akar persamaan. Dalam menentukan penyelesaian persamaan linear dua peubah penjelasannya adalah sebagai berikut.
a. Cara Eliminasi
Cara ini dimaksud untuk menghilangkan salah satu peubah, sehingga diperoleh sebuah persamaan yang hanya mengandung satu peubah.
Langkah-langkahnya adalah:
Menyamakan koefisien salah satu peubah dengan cara mengalikan dengan bilangan selain nol.
Menjumlahkan atau mengurangkan ruas-ruas yang bersesuaian dari kedua persamaan linear yang baru tersebut.
Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari
atau
Penyelesaian:
3 x + 4 y = 11 × 1 3 x + 4 y = 11
x + 7 y = 15 × 3 3 x + 21 y = 45 −
- 17 y = - 34
y = 2
3 x + 4 y = 11 × 7 21 x + 28 y = 77
x + 7 y = 15 × 4 4 x + 28 y = 60 −
17 x = 17
x = 1
Jadi HP = { 1 , 2 }
Cara Substitusi
Substitusi artinya mengganti
Langkah-langkahnya adalah:
Nyatakan salah satu peubah yang memuat peubah yang lain dari salah satu persamaan.
Substitusikan hasil dari langkah 1) ke persamaan yang lain.
Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari
3 x + 4 y = 11 ………( 1 )
x + 7 y = 15 ………( 2 )
Penyelesaian:
Dari dua persamaan tersebut yang sederhana untuk disubstitusikan yaitu dari persamaan ( 2 ) sehingga didapat:
x + 7 y = 15 x = 15 − 7 y …. ( 3 )
( 3 ) substitusi ke ( 1 )
3 x + 4 y = 11
3 ( 15 − 7 y ) + 4 y = 11
45 − 21 y + 4 y = 11
- 17 y = 11 − 45
- 17 y = - 34
y = 2
Dengan nilai y = 2 substitusikan ke (3)
x = 15 − 7 y
= 15 − 7 . 2
= 15 − 14
= 1
Jadi HP = { 1 , 2 }
Cara Eliminasi dan Substitusi
Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari
3 x + 4 y = 11 ………( 1 )
x + 7 y = 15 ………( 2 )
Penyelesaian:
3 x + 4 y = 11 × 1 3 x + 4 y = 11
x + 7 y = 15 × 3 3 x + 21 y = 45 −
− 17 y = − 34
y = 2
Dengan nilai y = 2 substitusikan ke (2)
x + 7 y = 15
x = 15 − 7 y
= 15 − 7 . 2
= 15 − 14 = 1
Jadi HP = { 1 , 2 }
Cara Grafik
Persamaan linear dua peubah dapat dipandang sebagai persamaan garis lurus. Dengan demikian, penyelesaian dari sistem persamaan linear dua peubah dapat dipandang sebagai titik-titik yang dilalui oleh kedua garis.
Langkah-langkahnya adalah :
Gambarlah grafik garis lurus pada bidang koordinat.
Tentukan titik potong kedua garis tersebut. Koordinat titik potong itulah merupakan pasangan penyelesaian dari sistem persamaan yang dimaksud.
Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari
x + 2 y = 8 ………( 1 )
3 x + 2 y = 12 ………( 2 )
Penyelesaian:
Gambar grafik masing-masing persamaan dengan bantuan tabel sebagai berikut:
x + 2 y = 8 3 x + 2 y = 12
Titik potong antara
Garis x + 2 y = 8 dengan garis 3 x + 2 y = 12 yaitu:
x + 2 y = 8
3 x + 2 y = 12 _
− 2 x = − 4
x = 2
x + 2 y = 8
2 + 2 y = 8
2 y = 6
y = 3
Jadi HP = { 2, 3 }
Cara Matriks
Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari
x + 2 y = 8 ………( 1 )
3 x + 2 y = 12 ………( 2 )
b2 − 3 b1 b2 : − 4 b1 − 2 b2
Jadi HP = { 2 , 3 }
Cara Determinan
Determinan adalah bilangan yang nilainya tertentu oleh matriks bujursangkar, dan untuk menyelesaikan persamaan linear ditulis dalam bentuk persamaan matriks.
=
Selanjutnya x dan y diperoleh dari :
x = dan y =
Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari
3 x + 4 y = 11 ………( 1 )
x + 7 y = 15 ………( 2 )
Penyelesaian:
Persamaan matriks =
D = = 3 . 7 − 4 . 1 = 21 − 4 = 17
Dx = = 11 . 7 − 4 . 15 = 77 − 60 = 17
Dy = = 3 . 15 − 11 . 1 = 45 − 11 = 34
x = = = 1 dan y = = = 2
Jadi HP = { 1 , 2 }
Persamaan Linear Tiga Peubah
Persamaan Linear tiga peubah yaitu suatu sistem persamaan yang terdiri dari tiga persamaan linear yang masing-masing mengandung tiga peubah atau variabel dan pangkat ketiga peubah itu adalah satu.
Secara umum dinyatakan dalam bentuk:
dengan syarat/ ketentuan :
a , b , c , d , p , q , r , s , t . u , v dan w R
a , b , c 0 ; p , q , r 0 dan t , u , v 0
a , p , t : koefisien x
b , q , u : koefisien y
c , r , v : koefisien z
d , s , w : konstanta
Contoh:
x + 2 y - z = 2 …………… ( i )
- 4 x + 3 y + z = 5 …………….( ii )
- x + y + 3 z = 10 ……...….. ( iii )
Pada contoh tersebut, ketiga persamaan akan bernilai benar,
jika x = 1 , y = 2 dan z = 3.
Jadi HP = { 1 , 2 , 3 }
3. Menentukan Himpunan Penyelesaian (HP) Persamaan Linear tiga peubah.
Ada beberapa cara penyelesaian sistem persamaan linear dengan tiga peubah, antara lain dengan :
a. Substitusi
b. Eliminasi c. Eliminasi dan substitusi
d. Determinan
Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari
2 x + y + z = 9 ………( 1 )
x + 2 y − z = 6 ………( 2 )
3 x − y + z = 8 ………( 3 )
Dengan menggunakan cara :
Substitusi
Eliminasi
Eliminasi dan substitusi
Determinan.
Jawab:
a. Menggunakan Substitusi
Persamaan ( 2 ) x + 2 y − z = 6 diperoleh x = 6 − 2 y + z
Jika persamaan (2) disubstitusikan ke (1)
2 (6 − 2 y + z ) + y + z = 9
12 − 4 y + 2 z + y + z = 9
- 3 y + 3 z = -3 z = - 1 + y ……… (4)
Jika persamaan (2) disubstitusikan ke (3)
3 (6 − 2 y + z ) − y + z = 8
18 − 6 y + 3 z − y + z = 8
- 7 y + 4 z = - 10 ……… (5)
Jika persamaan (4) disubstitusikan ke (5)
- 7 y + 4 (- 1 + y ) = - 10
- 7 y − 4 + 4 y ) = - 10
- 3 y = - 6 y = 2
y = 2 substitusi ke (4) diperoleh z = -1 + 2 = 1
y = 2 dan z = 1 substitusikan ke ( 2 )
diperoleh x = 6 − 2 y + z
x = 6 − 2 . 2 + 1 = 6 − 4 + 1 = 3
Jadi HP = { x , y , z } = { 3 , 2 , 1 }
b. Menggunakan Eliminasi:
Langkah penyelesaian:
Eliminasi salah satu peubah sehingga menjadi persamaan dengan dua peubah.
Selesaikan sistem dua persamaan dengan dua peubah.
Jawab:
Misal kita mengeliminasi z:
(1) 2 x + y + z = 9
(2) x + 2 y − z = 6 +
3 x + 3 y = 15
x + y = 5 ……..(4)
(1) 2 x + y + z = 9
(3) 3 x − y + z = 8 __
- x + 2 y = 1 ……(5)
(4) x + y = 5
(5) - x + 2 y = 1 +
3 y = 6
y = 2
x = 5 − y = 5 − 2 = 3
z = 9 − 2 x − y
= 9 − 6 − 2 = 1
Jadi HP = { x , y , z } = { 3 , 2 , 1 }
c. Menggunakan Eliminasi dan Substitusi
(1) 2 x + y + z = 9
(2) x + 2 y − z = 6 +
3 x + 3 y = 15
x + y = 5
x = 5 ! y ……..(4)
(1) 2 x + y + z = 9
(3) 3 x − y + z = 8 __
- x + 2 y = 1 ……(5)
(4) substitusi ke (5)
- (5 ! y ) + 2 y = 1
! 5 + y + 2 y = 1
3 y = 6
y = 2
y = 2 substitusikan ke (4)
x = 5 ! y = 5 ! 2 = 3
z = 9 ! 2 x ! y
= 9 ! 6 ! 2 = 1
Jadi HP = { x , y , z } = { 3 , 2 , 1 }
d. Dengan cara Determinan
Dari persamaan:
2 x + y + z = 9 ………( 1 )
x + 2 y − z = 6 ………( 2 )
3 x − y + z = 8 ………( 3 )
determinan = d = = 4 − 3 − 1 − 6 − 2 − 1 = − 9
dx = = 18 − 8 − 6 − 16 − 9 − 6 = - 27
dy = = 12 − 27 + 8 ! 18 + 16 ! 9 = - 18
dz = = 32 + 18 ! 9 ! 54 + 12 ! 8 = - 9
x = = = 3
y = = = 2
z = = = 1
Jadi HP = { x , y , z } = { 3 , 2 , 1 }
Pertidaksamaan Linear Satu Peubah
Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan salah satu tanda “ > , ≥ , < atau ≤ “ .
Pertidaksamaan linear satu peubah adalah pertidaksamaan yang hanya memuat sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya adalah satu.
Contoh :
1. ,
merupakan pertidaksamaan linear satu peubah karena banyaknya peubahnya satu (yaitu x ) dan pangkatnya adalah satu.
2. 7 y + 5 > 2 y + 15 ,
merupakan pertidaksamaan linear satu peubah karena banyaknya peubahnya satu (yaitu y ) dan pangkatnya adalah satu.
3. 3 m + 7 n 19 ,
bukan merupakan pertidaksamaan linear satu peubah karena banyaknya peubahnya dua (yaitu m dan n ).
Sedangkan kalimat tertutup yang ruas kiri dan ruas kanan dihubungkan oleh salah satu tAnda dari “ > , ≥ , < atau ≤ “ disebut ketaksamaan.
Contoh:
1. 6 n + 7 > 2 n + 15 ………………… Pertidaksamaan
2. 12 − 9 < 35 ……………………….. Ketaksamaan
Bentuk umum pertidaksamaan linear dalam peubah x adalah :
a x + b > 0
a x + b < 0
a x + b 0
a x + b 0
dengan a , b € R dan a 0
Sifat-sifat pertidaksamaan linear satu peubah:
Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam menyelesaikan pertidaksamaan linear satu peubah adalah:
Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama, maka tAnda pertidaksamaan tetap.
Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan positip yang sama dan tidak nol, maka tAnda pertidaksamaan tetap.
Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatip yang sama dan tidak nol, maka tAnda pertidaksamaan menjadi sebaliknya.
Contoh:
Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan 5 x + 8 < 2 x − 7 dan tentukan himpunan penyelesaiannya!
Penyelesaian:
5 x + 8 < 2 x − 7
5 x + 8 − 8 < 2 x − 7 − 8 ………………..……… (kedua ruas dikurangi 8 )
5 x < 2 x − 15
5 x − 2 x < 2 x − 2 x − 15 ………………….. ( kedua ruas dikurangi 2 x )
3 x < - 15
< - ……………………………………. ( kedua ruas dibagi 3)
x < - 5
Himpunan Penyelesaiannya adalah : x | x < - 5 , x R
Cara tersebut di atas dapat dipersingkat dengan mengelompokkan suku-suku sejenisnya. Untuk suku yang pindah ruas maka tAnda berubah.
Contoh:
5 x + 8 < 2 x − 7
5 x − 2 x < −7 − 8
3 x < − 15
x < − 5
Contoh lain:
1.
12 ( ) 12 ( 5 − )
6 x − 9 60 − 12 x
6 x + 12 x 60 + 9
18 x 69
x 3
Jadi Himpunan Penyelesaiannya adalah: x | x 3 , x R
2. - 5 x + 8 < 2 x − 6
- 5 x − 2 x < - 6 − 8
- 7 x < - 14
x < ….. Hati-hati ini adalah cara yang salah
x < 2 ……….. Cobalah cek kebenarannya.
Setelah dicobakan yaitu:
misal ambil x = 1 maka - 7 < - 14 …… salah.
x = 0 maka 0 < - 14 …… salah
Cara penyelesaian yang benar adalah dengan menggunakan sifat 3 , yaitu :
- 5 x + 8 < 2 x − 6
- 5 x − 2 x < - 6 − 8
- 7 x < - 14 …dikalikan dengan -1 maka tAnda pertidaksamaannya dibalik.
7 x > 14
x > 2 …….. Cobalah cek kebenarannya
Setelah dicobakan yaitu:
misal ambil x = 3 maka - 21 < - 14 …… benar.
x = 4 maka - 28 < - 14 …… benar.
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah : x | x > 2 , x R
3. Tentukan penyelesaian dari :
x + 5 < 3 x + 1 < 2 x + 8 , x Q
Jawab:
x + 5 < 3 x + 1 < 2 x + 8
dapat ditulis sebagai berikut:
x + 5 < 3 x + 1
x − 3 x < 1 − 5
- 2 x < - 4
x > 2 dan 3 x + 1 < 2 x + 8
3 x − 2 x < 8 − 1
x < 7
Jadi x > 2 dan x < 7
Dapat juga ditulis sebagai berikut 2 < x < 7
Himpunan penyelesaiannya adalah : x | 2 < x < 7 , x Q
4. Tentukan himpunan penyelesaian dari 4 sin p + 1 = 3 ; sin p A
Penyelesaian:
4 sin p + 1 = 3
4 sin p = 2
sin p =
Ternyata nilai sin p yang diperoleh bukan bilangan asli sehingga himpunan penyelesaiannya = { }
Soal Latihan:
Tentukan penyelesaian soal-soal berikut:
1. 6 x + 3 = -2 x + 1
2. 3 − 2 p = 2 p − 13
3. x + 2 =
4. x − 3 = 5
5.
6.
7. − 1 = 3
8.
9.
10.
11. x − 9 = −
D. Pertidaksamaan dengan dua peubah
Bentuk umum pertidaksamaan linear dalam peubah x dan y adalah :
A x + b y > c
a x + b y < c
a x + b y c
a x + b y c
dengan a , b , c € R dan a , b 0
Contoh:
2 x + 3 y 12
4 − x
PENDAHULUAN
A. DESKRIPSI
Pembahasan tentang Persamaan dan Pertidaksamaan terdiri atas 3 bagian proses pemelajaran yang meliputi 3 sub kompetensi dengan alokasi waktu 16 jam pelajaran, yaitu:
Pengantar persamaan, yaitu terdiri atas dua kegiatan belajar.
Kegiatan belajar 1: Membahas tentang pengertian persamaan, macam-macam dan bentuk umum persamaan, sifat umum persamaan serta cara menyelesaikan persamaan linear dengan satu peubah, dua peubah, persamaan kuadrat, dan persamaan linear dengan tiga peubah.
Kegiatan belajar 2: Membahas tentang menentukan jenis akar persamaan kuadrat, jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat dan menyusun persamaan kuadrat bila sudah diketahui akarnya atau akarnya berhubungan dengan persamaan kuadrat lainnya.
Sistem persamaan, terdiri atas satu kegiatan belajar, yaitu kegiatan belajar 3.
Kegiatan belajar 3 membahas: Bentuk umum sistem persamaan linear dengan dua peubah, bentuk umum sistem persamaan linear dengan tiga peubah, bentuk umum sistem persamaan dengan dua variabel satu linear dan satu kuadrat, serta masing-masing bentuk sistem persamaan. Pemelajaran untuk sistem persamaan dialokasikan 8 jam pelajaran.
Pertidaksamaan, terdiri atas satu kegiatan belajar yaitu kegiatan belajar 4 yang membahas pengertian pertidaksamaan, macam-macam pertidaksamaan dan bentuk umumnya, sifat umum pertidaksamaan dan cara menyelesaikan pertidaksamaan linear dan kuadrat. Pemelajaran pertidaksamaan ini dialokasikan 10 jam pelajaran.
Evaluasi untuk kompetensi, mengaplikasikan konseppersamaan dan pertidaksamaan.
Setelah mempelajari persamaan dan pertidaksamaan ini, kompetensi yang diharapkan adalah siswa dapat mengaplikasikan persamaan dan pertidaksamaan dalam memecahkan masalah yang berhubungan dengan kehidupan sehari-hari.
Pendekatan yang digunakan dalam model ini menggunakan pendekatan sistem aktif melalui metode: pemberian tugas, diskusi pemecahan masalah, serta presentasi. Guru merancang pembelajaran, yang memberikan kesempatan seluas-luasnya pada siswa untuk berperan aktif dalam membangun konsep secara mandiri atau bersama-sama.
B. Prasyarat
Kemampuan awal yang diperlukan untuk mempelajari materi ini siswa telah mempelajari dan menguasai materi tentang operasi bilangan real.
C. Tujuan
Spesifikasi kerja yang diharapkan dikuasai siswa setelah mengikuti seluruh kegiatan belajar adalah siswa dapat:
1. Mendefinisikan pengertian persamaan.
2. Membedakan suatu kalimat persamaan dan bukan persamaan.
3. Menyebutkan macam-macam persamaan.
4. Menuliskan bentuk umum suatu persamaan dengan peubah tertentu.
5. Menyebutkan sifat umum persamaan.
6. Menyelesaikan persamaan.
7. Menentukan jenis akar persamaan kuadrat.
8. Menghitung jumlah dan hasil kali akar tanpa menghitung akar-akar persamaan kuadrat.
9. Menyusun persamaan kuadrat bila sudah diketahui akar-akarnya.
10. Menyusun persamaan kuadrat baru, yang akarnya berhubungan dengan akar persamaan kuadrat lain.
11. Menuliskan bentuk umum sistem persamaan linear dengan dua peubah.
12. Menuliskan bentuk umum sistem persamaan linear dengan tiga peubah.
13. Menuliskan bentuk umum sistem persamaan dengan satu peubah, dua peubah, satu linear satu kuadrat.
14. Menyelesaikan sistem persamaan
15. Menyebutkan pengertian pertidaksamaan.
16. Menyebutkan macam-macam pertidaksamaan.
17. Menuliskan bentuk umum macam-macam pertidaksamaan.
18. Menuliskan sifat umum pertidaksamaan.
19. Menyelesaikan pertidaksamaan.
Berdasarkan spesifikasi kinerja di atas, kemungkinan aplikasi konsep persamaan dan pertidaksamaan secara mendalam di dunia kerja diantaranya untuk menyelesaikan persoalan program linear, ekonometri, statistika, dan metode-metode yang mempelajari hubungan-hubungan ( interrelationship ) antara peubah atau faktor-faktor. Pengetahuan mengenai peramaan dan pertidaksamaan merupakan syarat pokok untuk dapat memahami teori/ analisis ekonomi modern yang bersifat kualitatif . Misalnya di dalam menganalisa babel input-output, penggunaan persamaan dan pertidaksamaan dimungkinkan selain hubungan yang saling kait mengkait antara sektor yang satu dengan sektor lainnya, juga dapat dipergunakan, juga dapat digunakan untuk meramalkan output setiap sektor apabila permintaan akhir dari setiap sektor sudah diketahui.
GLOSARIUM
ISTILAH KETERANGAN
Kesamaan atau identitas. adalah suatu pernyataan yang memuat ungkapan “samadengan” dan diberi notasi “=“ , tetapi tidak memuat peubah atau variabel.
Kalimat tertutup Yaitu pernyataan yang dapat ditentukan nilai kebenarannya.
Kalimat terbuka Yaitu pernyataan yang memuat notasi yang mewakili sesuatu yang belum jelas nilainya. Notasi yang demikian disebut peubah atau variable
Persamaan kalimat terbuka yang memuat suatu peubah.
Persamaan linear satu peubah adalah suatu kalimat terbuka yang hanya memuat sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya satu.
Beberapa sifat penting yang perlu diperhatikan dalam menyelesaikan suatu persamaan linear. · Suatu persamaan tidak akan berubah nilainya apabila tiap ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama.
· Suatu persamaan tidak akan berubah nilainya apabila tiap ruas dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama selain bilangan nol.
Persamaan Linear dua peubah yaitu suatu sistem persamaan yang terdiri dari dua persamaan linear yang masing-masing mengandung dua peubah atau variabel dan pangkat kedua peubah itu adalah satu.
Ada beberapa cara penyelesaian sistem persamaan linear dengan dua peubah a. Eliminasi
b. Substitusi
c. Eliminasi dan Substitusi
d. Grafik
e. Matriks
f. Determinan
Penyelesaian atau akar persamaan. adalah nilai pengganti peubah pada persamaan-persamaan yang membuat persamaan itu benar.
CEK KEMAMPUAN
No. Pertanyaan Ya Tidak
1. Tahukah anda pengertian persamaaan?
2. Dapatkah anda menyebutkan macam-macam persamaan?
3. Dapatkah anda menuliskan bentuk umum persamaan linear?
4. Dapatkah anda menuliskan bentuk umum persamaan kuadrat?
5. Dapatkah anda menyebutkan sifat umum persamaan?
6. Dapatkah anda menyelesaikan persamaan linear?
7. Dapatkah anda menyelesaikan persamaan kuadrat?
8. Dapatkah anda menyebutkan jenis akar persamaan kuadrat?
9. Dapatkah anda menghitung jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat?
10. Dapatkah anda menyusun persamaan kuadrat yang sudah diketahui akarnya?
11. Dapatkah anda menyusun persamaan kuadrat baru yang akarnya berhubungan dengan akar persamaan kuadrat lainnya?
12. Dapatkah anda menyebutkan pengertian pertidaksamaan?
13. Dapatkah anda menyebutkan macam-macam pertidaksamaan dan menuliskan bentuk umumnya?
14. Dapatkah anda menyebutkan sifat-sifat pertidaksamaan?
15. Dapatkah anda menyelesaikan pertidaksamaan linear?
16. Dapatkah anda menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan cara yang ditentukan?
17. Dapatkah anda menyebutkan macam-macam sistem persamaan serta menuliskan bentuk umumnya?
18. Dapatkah anda menyelesaikan sistem persamaan dengan cara yang ditentukan?
19. Dapatkah anda mengaplikasikan konsep persamaan dan pertidaksamaan dalam kehidupan sehari-hari?
F. Kegiatan Belajar
a. Tujuan kegiatan belajar 1:
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini anda diharapkan mampu:
Memiliki pengertian tentang persamaan.
Menyebutkan dan menuliskan bentuk umum macam-macam persamaan.
Menuliskan sifat umum persamaan.
Menyelesaikan persamaan dalam matematika maupun dalam persoalan sehari-hari.
b. Uraian materi kegiatan belajar :
1) Pengertian Kalimat terbuka dan kalimat tertutup
Perhatikan pernyataan-pernyataan berikut:
1. 5 + 7 = 12 5. 3 x + 8 = 5
2. 9 − 3 = 5 6. 2 p − 3 = 4 p + 7
3. 6 : 2 = 4 7.
4. 5 + 8 6 8.
Pernyataan 1, 2, 3 dan 4 disebut kalimat tertutup yaitu pernyataan yang dapat ditentukan nilai kebenarannya. Pernyataan 1 dan 4 bernilai benar, sedang pernyataan 2 dan 3 bernilai salah. Pernyataan yang memuat ungkapan “samadengan” dan diberi notasi “ = “ , tetapi tidak memuat variabel maka disebut “kesamaan” atau “identitas”.
Pernyataan atau kalimat yang terletak di kiri tanda “=” disebut “ruas kiri”, dan pernyataan atau kalimat yang terletak di kanan tanda “=” disebut “ruas kanan”.
Pada pernyataan 5, 6, 7 dan 8 tidak dapat dinilai langsung kebenarannya. Pernyataan ini disebut pernyataan “terbuka”, yaitu pernyataan yang memuat notasi yang mewakili sesuatu yang belum jelas nilainya. Notasi yang demikian disebut peubah atau variabel , misalkan: x , y , z , p , q , r , s , t , u dan sebagainya.
Persamaan Linear satu peubah
Persamaan linear satu peubah adalah suatu kalimat terbuka yang hanya memuat sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya satu.
Contoh 1:
2 x − 5 = 13 ……………..(peubahnya satu yaitu x dan pangkatnya 1)
5 y + 7 = 2 y − 5 ………(peubahnya satu yaitu y dan pangkatnya 1)
……………....( peubahnya satu yaitu p dan pangkatnya 1)
Contoh 2:
5 p + 7 y = 8 …… bukan persamaan linear satu peubah karena peubahnya ada dua (yaitu p dan y)
x2 − 9 = 0 …. bukan persamaan linear satu peubah walaupun peubahnya
hanya satu tetapi pangkat dari peubahnya adalah dua.
Bentuk Umum:
Persamaan linear satu peubah :
Keterangan:
A : koefisien dari x ; x : peubah ; b : konstanta
contoh:
3 x + 15 = 0
2 x - 8 = 0
Pada kedua contoh tersebut, persamaan akan bernilai benar apabila peubahnya berturut-turut diganti -5 dan 4. Jika nilai peubah dapat mengubah persamaan menjadi pernyataan yang benar, maka nilai-nilai peubah tersebut merupakan “penyelesaian dari suatu persamaan”.
Sifat-sifat Persamaan Linear:
Untuk menyelesaikan suatu persamaan linear ada beberapa sifat penting yang perlu diperhtikan yaitu:
Suatu persamaan tidak akan berubah nilainya apabila tiap ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama.
Suatu persamaan tidak akan berubah nilainya apabila tiap ruas dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama selain bilangan nol.
Di bawah ini adalah contoh untuk menyelesaikan soal menggunakan sifat-sifat di atas.
Tentukan penyelesaian soal-soal di bawah ini:
1. 5 x + 10 = 25
2. =
3. − 2 = 1 +
Jawab:
1. 5 x + 10 = 25
5 x + 10 − 10 = 25 − 10 ……… ( ruas kanan dan kiri dikurangi 10 ).
5 x = 15
5 x . = 15 . ………. ( dikalikan )
x = 3 ………….. ( hasil penyelesaian )
2. =
× 10 = × 10 …( dikalikan KPK dari 2 dan 5 yaitu 10 )
5 ( 2 x – 1 ) = 2 ( 4 x – 3 )
10 x − 5 = 8 x − 6 ………… ( uraian perkalian )
10 x − 5 + 5 = 8 x − 6 + 5 ……… ( ditambah 5 )
10 x = 8 x − 1
10 x − 8 x = 8 x − 8 x − 1 …….. ( dikurangi 8 x )
2 x = - 1
2 x . = - 1 . ……………. ( dikalikan )
x = - ………………… ( hasil penyelesaian )
Jadi himpunan penyelesaiannya ( HP ) adalah -
3. − 2 = 1 +
6 ( − 2) = 6 (1 + )
4 x − 12 = 6 + 3 x
4 x − 3 x = 6 + 12
x = 18
Jadi himpunan penyelesaiannya ( HP ) adalah 18
Catatan:
Untuk menyelesaikan persamaan linear usahakan agar peubah atau variabel- variabelnya terletak pada satu ruas dan konstanta-konstantanya di ruas lain.
Jika dalam suatu persamaan tidak tertulis himpunan semestanya, maka yang dimaksud himpunan semestanya adalah himpunan bilangan real (nyata).
Cara tersebut di atas dapat dipersingkat dengan mengelompokkan suku-suku sejenisnya. Untuk suku yang pindah ruas maka tanda berubah.
Contoh :
1. 5 (t − 4) = 3 ( 8 − t)
5 t − 20 = 24 − 3 t
5 t + 3 t = 24 + 20
8 t = 44
t = 5
Jadi HP adalah 5
2.
12 ( ) = 12 ( )
8 m − 6 m = 6 m − 9
- 4 m = - 9
m = 2
Jadi HP adalah 2
Latihan 1:
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan linear berikut:
a. 2 x − 3 = 3 x − 7
b. 5 m − 7 = 2 m + 2
c. 4 y − 19 = 17 − 8 y
d. 5 + 3 ( 2 − x ) + 2 = 2 ( x − 3 )
e. 5. 8 x − 3 = 4 ( x + 1 ) + 5 f. 2 x + 3 ( x − 5 ) = 10
g. 5 ( 1 − x ) + 6 x = 3 x + 7
h. 5 y + 10 = 15 + 4 y
i. 3 m + 17 = -3 + 7 m
j. 10. y + 1 = 5 ( 6 − y ) + 1
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan linear berikut:
a. − 2 =
b. + = x + 2
c. − + = 0 d. + =
e. − =
f. ( x − 7 ) = 6 x
Mengaplikasikan persamaan linear dalam bidang bisnis dan managemen.
Langkah-langkah yang harus dilakukan adalah:
Menterjemahkan soal ke dalam kalimat matematika.
Menyusun persamaannya.
Menyelesaikan persamaan.
Menterjemahkan kembali pada soal semula.
Contoh:
1. Data akuntansi untuk persediaan barang dagangan UD. Sumber Rejeki, bulan Maret 2006 adalah sebagai berikut:
- Harga pokok penjualan : Rp. 20.550.000,00
- Persediaan tanggal 1 Maret 2006 : Rp. 2.300.000,00
- Biaya angkut pembelian : Rp. 600.000,00
- Persediaan tanggal 31 Maret 2006 : Rp. 750.000,00
- Retur pembelian dan potongan harga : Rp. 830.000,00
Hitunglah besarnya pembelian selama bulan Maret 2006
Penyelesaiannya dapat dengan menggunakan format sebagai berikut:
Bagan perhitungan harga pokok penjualan barang dagang:
Persediaan awal ………….
Pembelian-pembelian …………. +
……………
Biaya angkut pembelian …………..
Retur dan potongan pembelian ………….. –
…………..
Persediaan akhir ………….. –
………….
Harga pokok penjualan …………. –
………….
Jawab:
Misalkan jumlah pembelian selama bulan Maret 2006 = x , maka:
2.300.000 + x + 600.000 - 830.000 - 750.000 = 20.550.000
x + 1.320.000 = 20.550.000
x = 19.230.000
Jadi besarnya pembelian selama bulan Maret 2006 adalah Rp. 19.230.000,00
2. Ibu membeli kue donat sebanyak 9 buah harganya Rp.6.750,00.
Berapa harga satu buah donat?
Jawab:
Misalnya sebuah kue donat = x , maka
x = 6.750
x = = 750.
Jadi harga kue donat per buah adalah Rp. 750,00
Harga sebuah celana, dua kali harga sebuah baju. Dua celana dan tiga baju harganya Rp. 350.000,00. Berapa harga satu celana dan satu baju?
Penyelesaian:
Misal harga 1 baju ( B ) = x
harga 1 celana ( C ) = 2 x
Harga 2 C + 3 B = 350.000
2 ( 2 x ) + 3 ( x ) = 350.000
4 x + 3 x = 350.000
7 x = 350.000
x = 50.000
Jadi harga 1 baju ( B ) = x = Rp. 50.000,00
harga 1 celana ( C ) = 2 x = 2 × Rp. 50.000,00 = Rp. 100.000,00
Harga sebuah bolpoin sama dengan tiga kali harga sebuah pensil. Jika jumlah harga 40 bolpoin dan 30 pensil adalah Rp. 150.000,00.
Berapakah harga sebuah bolpoin dan harga sebuah pensil masing-masing?
Penyelesaian:
Misal harga 1 pensil ( P ) = x
harga 1 bolpoin (B) = 3 x
B + 30 P = 150.000
40 ( 3 x ) + 30 ( x ) = 150.000
120 x + 30 x = 150.000
150 x = 150.000
x = 1.000
Jadi harga 1 pensil ( P ) = x = Rp. 1.000,00
harga 1 bolpoin ( B ) = 3 x = 3 × Rp. 1.000,00 = Rp. 3.000,00
Latihan:
Tentukan hipunan penyelesaian setiap persamaan di bawah ini, jika peubahnya pada himpunan bilangan rasional.
a. 5 ( p − 6 ) = 3 ( 8 − p )
b. 9 x − ( x − 11 ) = 5 − ( x − 3 )
c. – 2 + 3 a = 7 − ( 8 + 3 a )
d. 3 ( m − 5 ) − 9 = 6 − 7 m
Tentukan hipunan penyelesaian setiap persamaan di bawah ini, jika peubahnya pada himpunan bilangan rasional.
a. − 3 =
b. − = 5 c. =
d. =
Harga dua loyang cake keju sama dengan harga tiga loyang cake coklat.
Jika harga enam loyang cake coklat Rp. 72.000,00. Hitunglah harga satu loyang cake keju.
4. Jumlah harga 3 m kain katun Jepang dan 5 m kain phiskin adalah Rp. 77.000,00. Sedangkan harga 1 m kain katun Jepang sama dengan dua kali harga 1 m kain phiskin. Jika Atun membeli 1 m kain katun Jepang dan 1 m kain phiskin, berapa rupiah Atun harus membayar?.
C. Persamaan Linear dua peubah (variabel)
Persamaan Linear dua peubah yaitu suatu sistem persamaan yang terdiri dari dua persamaan linear yang masing-masing mengandung dua peubah atau variabel dan pangkat kedua peubah itu adalah satu.
Secara umum dinyatakan dalam bentuk:
dengan syarat/ ketentuan :
a , b , c , p , q , dan r R
a , b 0 dan p , q 0
a , p : koefisien x
b , q : koefisien y
c , r : konstanta
Contoh:
1.
Pada contoh tersebut, kedua persamaan akan bernilai benar jika x = 5 dan y = 3
2. Aplikasi persamaan linear pada bidang bisnis.
Dalam kehidupan sehari-hari sering bertemu persoalan yang dapat diselesaikan menggunakan
sistem persamaan linear dengan dua peubah.
Contoh:
Anita membeli 4 buku tulis dan 2 pulpen dengan harga Rp. 7.000,00. Ratih membeli 3 buku tulis dan 5 pulpen dengan harga Rp. 10,500,00.
Berapa harga 1 buku tulis dan 1 pulpen?
Penyelesaian:
Untuk menjawab persoalan di atas, perlu terlebih dahulu diterjemahkan ke dalam bahasa matematika yang disebut model matematika.
Agar mudah membuat model matematikanya dapat dibantu dengan menggunakan tabel.
Buku tulis Pulpen Harga
Anita 4 2 7.000
Ratih 3 5 10.500
Dari tabel di atas dapat dibuat model matematikanya yaitu:
Misalkan: buku tulis = x
Pulpen = y
Maka akan didapat sistem persamaan yang dapat ditulis sebagai berikut:
atau
Mencari harga x (satu buku tulis) dan y (satu pulpen) berarti mencari himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut.
3. Menentukan Himpunan Penyelesaian (HP) Persamaan Linear.
Ada beberapa cara penyelesaian sistem persamaan linear dengan dua peubah, antara lain dengan :
b. Eliminasi
b. Substitusi c. Eliminasi dan Substitusi
d. Grafik e. Matriks
f. Determinan
Nilai pengganti peubah pada persamaan-persamaan yang membuat persamaan itu benar disebut penyelesaian atau akar persamaan. Dalam menentukan penyelesaian persamaan linear dua peubah penjelasannya adalah sebagai berikut.
a. Cara Eliminasi
Cara ini dimaksud untuk menghilangkan salah satu peubah, sehingga diperoleh sebuah persamaan yang hanya mengandung satu peubah.
Langkah-langkahnya adalah:
Menyamakan koefisien salah satu peubah dengan cara mengalikan dengan bilangan selain nol.
Menjumlahkan atau mengurangkan ruas-ruas yang bersesuaian dari kedua persamaan linear yang baru tersebut.
Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari
atau
Penyelesaian:
3 x + 4 y = 11 × 1 3 x + 4 y = 11
x + 7 y = 15 × 3 3 x + 21 y = 45 −
- 17 y = - 34
y = 2
3 x + 4 y = 11 × 7 21 x + 28 y = 77
x + 7 y = 15 × 4 4 x + 28 y = 60 −
17 x = 17
x = 1
Jadi HP = { 1 , 2 }
Cara Substitusi
Substitusi artinya mengganti
Langkah-langkahnya adalah:
Nyatakan salah satu peubah yang memuat peubah yang lain dari salah satu persamaan.
Substitusikan hasil dari langkah 1) ke persamaan yang lain.
Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari
3 x + 4 y = 11 ………( 1 )
x + 7 y = 15 ………( 2 )
Penyelesaian:
Dari dua persamaan tersebut yang sederhana untuk disubstitusikan yaitu dari persamaan ( 2 ) sehingga didapat:
x + 7 y = 15 x = 15 − 7 y …. ( 3 )
( 3 ) substitusi ke ( 1 )
3 x + 4 y = 11
3 ( 15 − 7 y ) + 4 y = 11
45 − 21 y + 4 y = 11
- 17 y = 11 − 45
- 17 y = - 34
y = 2
Dengan nilai y = 2 substitusikan ke (3)
x = 15 − 7 y
= 15 − 7 . 2
= 15 − 14
= 1
Jadi HP = { 1 , 2 }
Cara Eliminasi dan Substitusi
Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari
3 x + 4 y = 11 ………( 1 )
x + 7 y = 15 ………( 2 )
Penyelesaian:
3 x + 4 y = 11 × 1 3 x + 4 y = 11
x + 7 y = 15 × 3 3 x + 21 y = 45 −
− 17 y = − 34
y = 2
Dengan nilai y = 2 substitusikan ke (2)
x + 7 y = 15
x = 15 − 7 y
= 15 − 7 . 2
= 15 − 14 = 1
Jadi HP = { 1 , 2 }
Cara Grafik
Persamaan linear dua peubah dapat dipandang sebagai persamaan garis lurus. Dengan demikian, penyelesaian dari sistem persamaan linear dua peubah dapat dipandang sebagai titik-titik yang dilalui oleh kedua garis.
Langkah-langkahnya adalah :
Gambarlah grafik garis lurus pada bidang koordinat.
Tentukan titik potong kedua garis tersebut. Koordinat titik potong itulah merupakan pasangan penyelesaian dari sistem persamaan yang dimaksud.
Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari
x + 2 y = 8 ………( 1 )
3 x + 2 y = 12 ………( 2 )
Penyelesaian:
Gambar grafik masing-masing persamaan dengan bantuan tabel sebagai berikut:
x + 2 y = 8 3 x + 2 y = 12
Titik potong antara
Garis x + 2 y = 8 dengan garis 3 x + 2 y = 12 yaitu:
x + 2 y = 8
3 x + 2 y = 12 _
− 2 x = − 4
x = 2
x + 2 y = 8
2 + 2 y = 8
2 y = 6
y = 3
Jadi HP = { 2, 3 }
Cara Matriks
Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari
x + 2 y = 8 ………( 1 )
3 x + 2 y = 12 ………( 2 )
b2 − 3 b1 b2 : − 4 b1 − 2 b2
Jadi HP = { 2 , 3 }
Cara Determinan
Determinan adalah bilangan yang nilainya tertentu oleh matriks bujursangkar, dan untuk menyelesaikan persamaan linear ditulis dalam bentuk persamaan matriks.
=
Selanjutnya x dan y diperoleh dari :
x = dan y =
Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari
3 x + 4 y = 11 ………( 1 )
x + 7 y = 15 ………( 2 )
Penyelesaian:
Persamaan matriks =
D = = 3 . 7 − 4 . 1 = 21 − 4 = 17
Dx = = 11 . 7 − 4 . 15 = 77 − 60 = 17
Dy = = 3 . 15 − 11 . 1 = 45 − 11 = 34
x = = = 1 dan y = = = 2
Jadi HP = { 1 , 2 }
Persamaan Linear Tiga Peubah
Persamaan Linear tiga peubah yaitu suatu sistem persamaan yang terdiri dari tiga persamaan linear yang masing-masing mengandung tiga peubah atau variabel dan pangkat ketiga peubah itu adalah satu.
Secara umum dinyatakan dalam bentuk:
dengan syarat/ ketentuan :
a , b , c , d , p , q , r , s , t . u , v dan w R
a , b , c 0 ; p , q , r 0 dan t , u , v 0
a , p , t : koefisien x
b , q , u : koefisien y
c , r , v : koefisien z
d , s , w : konstanta
Contoh:
x + 2 y - z = 2 …………… ( i )
- 4 x + 3 y + z = 5 …………….( ii )
- x + y + 3 z = 10 ……...….. ( iii )
Pada contoh tersebut, ketiga persamaan akan bernilai benar,
jika x = 1 , y = 2 dan z = 3.
Jadi HP = { 1 , 2 , 3 }
3. Menentukan Himpunan Penyelesaian (HP) Persamaan Linear tiga peubah.
Ada beberapa cara penyelesaian sistem persamaan linear dengan tiga peubah, antara lain dengan :
a. Substitusi
b. Eliminasi c. Eliminasi dan substitusi
d. Determinan
Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari
2 x + y + z = 9 ………( 1 )
x + 2 y − z = 6 ………( 2 )
3 x − y + z = 8 ………( 3 )
Dengan menggunakan cara :
Substitusi
Eliminasi
Eliminasi dan substitusi
Determinan.
Jawab:
a. Menggunakan Substitusi
Persamaan ( 2 ) x + 2 y − z = 6 diperoleh x = 6 − 2 y + z
Jika persamaan (2) disubstitusikan ke (1)
2 (6 − 2 y + z ) + y + z = 9
12 − 4 y + 2 z + y + z = 9
- 3 y + 3 z = -3 z = - 1 + y ……… (4)
Jika persamaan (2) disubstitusikan ke (3)
3 (6 − 2 y + z ) − y + z = 8
18 − 6 y + 3 z − y + z = 8
- 7 y + 4 z = - 10 ……… (5)
Jika persamaan (4) disubstitusikan ke (5)
- 7 y + 4 (- 1 + y ) = - 10
- 7 y − 4 + 4 y ) = - 10
- 3 y = - 6 y = 2
y = 2 substitusi ke (4) diperoleh z = -1 + 2 = 1
y = 2 dan z = 1 substitusikan ke ( 2 )
diperoleh x = 6 − 2 y + z
x = 6 − 2 . 2 + 1 = 6 − 4 + 1 = 3
Jadi HP = { x , y , z } = { 3 , 2 , 1 }
b. Menggunakan Eliminasi:
Langkah penyelesaian:
Eliminasi salah satu peubah sehingga menjadi persamaan dengan dua peubah.
Selesaikan sistem dua persamaan dengan dua peubah.
Jawab:
Misal kita mengeliminasi z:
(1) 2 x + y + z = 9
(2) x + 2 y − z = 6 +
3 x + 3 y = 15
x + y = 5 ……..(4)
(1) 2 x + y + z = 9
(3) 3 x − y + z = 8 __
- x + 2 y = 1 ……(5)
(4) x + y = 5
(5) - x + 2 y = 1 +
3 y = 6
y = 2
x = 5 − y = 5 − 2 = 3
z = 9 − 2 x − y
= 9 − 6 − 2 = 1
Jadi HP = { x , y , z } = { 3 , 2 , 1 }
c. Menggunakan Eliminasi dan Substitusi
(1) 2 x + y + z = 9
(2) x + 2 y − z = 6 +
3 x + 3 y = 15
x + y = 5
x = 5 ! y ……..(4)
(1) 2 x + y + z = 9
(3) 3 x − y + z = 8 __
- x + 2 y = 1 ……(5)
(4) substitusi ke (5)
- (5 ! y ) + 2 y = 1
! 5 + y + 2 y = 1
3 y = 6
y = 2
y = 2 substitusikan ke (4)
x = 5 ! y = 5 ! 2 = 3
z = 9 ! 2 x ! y
= 9 ! 6 ! 2 = 1
Jadi HP = { x , y , z } = { 3 , 2 , 1 }
d. Dengan cara Determinan
Dari persamaan:
2 x + y + z = 9 ………( 1 )
x + 2 y − z = 6 ………( 2 )
3 x − y + z = 8 ………( 3 )
determinan = d = = 4 − 3 − 1 − 6 − 2 − 1 = − 9
dx = = 18 − 8 − 6 − 16 − 9 − 6 = - 27
dy = = 12 − 27 + 8 ! 18 + 16 ! 9 = - 18
dz = = 32 + 18 ! 9 ! 54 + 12 ! 8 = - 9
x = = = 3
y = = = 2
z = = = 1
Jadi HP = { x , y , z } = { 3 , 2 , 1 }
Pertidaksamaan Linear Satu Peubah
Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan salah satu tanda “ > , ≥ , < atau ≤ “ .
Pertidaksamaan linear satu peubah adalah pertidaksamaan yang hanya memuat sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya adalah satu.
Contoh :
1. ,
merupakan pertidaksamaan linear satu peubah karena banyaknya peubahnya satu (yaitu x ) dan pangkatnya adalah satu.
2. 7 y + 5 > 2 y + 15 ,
merupakan pertidaksamaan linear satu peubah karena banyaknya peubahnya satu (yaitu y ) dan pangkatnya adalah satu.
3. 3 m + 7 n 19 ,
bukan merupakan pertidaksamaan linear satu peubah karena banyaknya peubahnya dua (yaitu m dan n ).
Sedangkan kalimat tertutup yang ruas kiri dan ruas kanan dihubungkan oleh salah satu tAnda dari “ > , ≥ , < atau ≤ “ disebut ketaksamaan.
Contoh:
1. 6 n + 7 > 2 n + 15 ………………… Pertidaksamaan
2. 12 − 9 < 35 ……………………….. Ketaksamaan
Bentuk umum pertidaksamaan linear dalam peubah x adalah :
a x + b > 0
a x + b < 0
a x + b 0
a x + b 0
dengan a , b € R dan a 0
Sifat-sifat pertidaksamaan linear satu peubah:
Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam menyelesaikan pertidaksamaan linear satu peubah adalah:
Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama, maka tAnda pertidaksamaan tetap.
Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan positip yang sama dan tidak nol, maka tAnda pertidaksamaan tetap.
Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatip yang sama dan tidak nol, maka tAnda pertidaksamaan menjadi sebaliknya.
Contoh:
Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan 5 x + 8 < 2 x − 7 dan tentukan himpunan penyelesaiannya!
Penyelesaian:
5 x + 8 < 2 x − 7
5 x + 8 − 8 < 2 x − 7 − 8 ………………..……… (kedua ruas dikurangi 8 )
5 x < 2 x − 15
5 x − 2 x < 2 x − 2 x − 15 ………………….. ( kedua ruas dikurangi 2 x )
3 x < - 15
< - ……………………………………. ( kedua ruas dibagi 3)
x < - 5
Himpunan Penyelesaiannya adalah : x | x < - 5 , x R
Cara tersebut di atas dapat dipersingkat dengan mengelompokkan suku-suku sejenisnya. Untuk suku yang pindah ruas maka tAnda berubah.
Contoh:
5 x + 8 < 2 x − 7
5 x − 2 x < −7 − 8
3 x < − 15
x < − 5
Contoh lain:
1.
12 ( ) 12 ( 5 − )
6 x − 9 60 − 12 x
6 x + 12 x 60 + 9
18 x 69
x 3
Jadi Himpunan Penyelesaiannya adalah: x | x 3 , x R
2. - 5 x + 8 < 2 x − 6
- 5 x − 2 x < - 6 − 8
- 7 x < - 14
x < ….. Hati-hati ini adalah cara yang salah
x < 2 ……….. Cobalah cek kebenarannya.
Setelah dicobakan yaitu:
misal ambil x = 1 maka - 7 < - 14 …… salah.
x = 0 maka 0 < - 14 …… salah
Cara penyelesaian yang benar adalah dengan menggunakan sifat 3 , yaitu :
- 5 x + 8 < 2 x − 6
- 5 x − 2 x < - 6 − 8
- 7 x < - 14 …dikalikan dengan -1 maka tAnda pertidaksamaannya dibalik.
7 x > 14
x > 2 …….. Cobalah cek kebenarannya
Setelah dicobakan yaitu:
misal ambil x = 3 maka - 21 < - 14 …… benar.
x = 4 maka - 28 < - 14 …… benar.
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah : x | x > 2 , x R
3. Tentukan penyelesaian dari :
x + 5 < 3 x + 1 < 2 x + 8 , x Q
Jawab:
x + 5 < 3 x + 1 < 2 x + 8
dapat ditulis sebagai berikut:
x + 5 < 3 x + 1
x − 3 x < 1 − 5
- 2 x < - 4
x > 2 dan 3 x + 1 < 2 x + 8
3 x − 2 x < 8 − 1
x < 7
Jadi x > 2 dan x < 7
Dapat juga ditulis sebagai berikut 2 < x < 7
Himpunan penyelesaiannya adalah : x | 2 < x < 7 , x Q
4. Tentukan himpunan penyelesaian dari 4 sin p + 1 = 3 ; sin p A
Penyelesaian:
4 sin p + 1 = 3
4 sin p = 2
sin p =
Ternyata nilai sin p yang diperoleh bukan bilangan asli sehingga himpunan penyelesaiannya = { }
Soal Latihan:
Tentukan penyelesaian soal-soal berikut:
1. 6 x + 3 = -2 x + 1
2. 3 − 2 p = 2 p − 13
3. x + 2 =
4. x − 3 = 5
5.
6.
7. − 1 = 3
8.
9.
10.
11. x − 9 = −
D. Pertidaksamaan dengan dua peubah
Bentuk umum pertidaksamaan linear dalam peubah x dan y adalah :
A x + b y > c
a x + b y < c
a x + b y c
a x + b y c
dengan a , b , c € R dan a , b 0
Contoh:
2 x + 3 y 12
4 − x
No comments:
Post a Comment